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人気のある微分積分 >

integral of 1/(x+sqrt(x-1))

解

\int \frac{1}{x + x - 1} d x

解

ln 4 x + 4 x - 1 - \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x - 1 + 1}{3}) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{x + x - 1} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{u + 1 + u} d u

u置換積分法を適用する

= \int \frac{2 v}{v ^{2} + 1 + v} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{v}{v ^{2} + 1 + v} d v

平方完成する

v^{2} + 1 + v : (v + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= 2 \cdot \int \frac{v}{( v + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d v

u置換積分法を適用する

= 2 \cdot \int \frac{2 ( 2 w - 1 )}{4 w ^{2} + 3} d w

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot \int \frac{2 w - 1}{4 w ^{2} + 3} d w

拡張

\frac{2 w - 1}{4 w ^{2} + 3} : \frac{2 w}{4 w ^{2} + 3} - \frac{1}{4 w ^{2} + 3}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot 2 (\int \frac{2 w}{4 w ^{2} + 3} d w - \int \frac{1}{4 w ^{2} + 3} d w)

\int \frac{2 w}{4 w ^{2} + 3} d w = \frac{1}{4} ln 4 w^{2} + 3

\int \frac{1}{4 w ^{2} + 3} d w = \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} w)

= 2 \cdot 2 (\frac{1}{4} ln 4 w^{2} + 3 - \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} w))

代用を戻す

= 2 \cdot 2 (\frac{1}{4} ln 4 (x - 1 + \frac{1}{2})^{2} + 3 - \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (x - 1 + \frac{1}{2})))

簡素化

2 \cdot 2 (\frac{1}{4} ln 4 (x - 1 + \frac{1}{2})^{2} + 3 - \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (x - 1 + \frac{1}{2}))) : ln 4 x + 4 x - 1 - \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x - 1 + 1}{3})

= ln 4 x + 4 x - 1 - \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x - 1 + 1}{3})

定数を解答に追加する

= ln 4 x + 4 x - 1 - \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x - 1 + 1}{3}) + C

グラフ

人気の例

integral of 3x^2-60x+400

\int 3 x^{2} - 60 x + 400 d x

integral of 9x^2-34x+25

\int 9 x^{2} - 34 x + 25 d x

integral of x^3-4x^2+x+6

\int x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 d x

integral of x^{1/2}*ln(x)

\int x^{\frac{1}{2}} \cdot ln (x) d x

integral of (x-3)sin(x)

\int (x - 3) sin (x) d x