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integral of 1/(e^{2x)-3}

Lösung

\int \frac{1}{e ^{2 x} - 3} d x

Lösung

\frac{1}{6} (ln e^{2 x} - 3 - 2 x) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{e ^{2 x} - 3} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 u ( u + 3 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ( u + 3 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ( u + 3 )} : \frac{1}{3 u} - \frac{1}{3 ( u + 3 )}

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{3 u} - \frac{1}{3 ( u + 3 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int \frac{1}{3 u} d u - \int \frac{1}{3 ( u + 3 )} d u)

\int \frac{1}{3 u} d u = \frac{1}{3} ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{3 ( u + 3 )} d u = \frac{1}{3} ln ∣ u + 3 ∣

= \frac{1}{2} (\frac{1}{3} ln ∣ u ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ u + 3 ∣)

Setze in

u = e^{2 x} - 3

ein

= \frac{1}{2} (\frac{1}{3} ln e^{2 x} - 3 - \frac{1}{3} ln e^{2 x} - 3 + 3)

Vereinfache

\frac{1}{2} (\frac{1}{3} ln e^{2 x} - 3 - \frac{1}{3} ln e^{2 x} - 3 + 3) : \frac{1}{6} (ln e^{2 x} - 3 - 2 x)

= \frac{1}{6} (ln e^{2 x} - 3 - 2 x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{6} (ln e^{2 x} - 3 - 2 x) + C

Graph

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