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integral of (ln(tan(x/2)))/(sin(x))

Lösung

\int \frac{ln ( tan ( \frac{x}{2} ) )}{sin ( x )} d x

\frac{1}{2} ln^{2} (tan (\frac{x}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{ln ( tan ( \frac{x}{2} ) )}{sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int 2 csc (2 u) ln (tan (u)) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int csc (2 u) ln (tan (u)) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{ln ( \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )} )}{sin ( 2 u )} d u

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= 2 \cdot \int \frac{ln ( tan ( u ) )}{sin ( 2 u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{ln ( tan ( u ) )}{2 cos ( u ) sin ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{ln ( tan ( u ) )}{cos ( u ) sin ( u )} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{ln ( v )}{v} d v

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int w d w

Wende die Potenzregel an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{w ^{2}}{2}

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{ln ^{2} ( tan ( \frac{x}{2} ) )}{2}

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{ln ^{2} ( tan ( \frac{x}{2} ) )}{2} : \frac{1}{2} ln^{2} (tan (\frac{x}{2}))

= \frac{1}{2} ln^{2} (tan (\frac{x}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} ln^{2} (tan (\frac{x}{2})) + C

\int \frac{x ^{2} + 11 x + 33}{x ^{2} + 10 x + 27} d x

\int 12 sin^{2} (2 x) cos (2 x) d x

\int \frac{( x + 4 )}{( x + 1 ) ^{2}} d x

\int \frac{3 - x}{2 x ^{2} - 12 x + 1} d x

\int x^{6} sin (x) cos (x) d x