integral of e^{-(1+iw)t}

解

\int e^{- (1 + i w) t} d t

\frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- t} cos (wt) + w e^{- t} sin (wt)) + i \frac{1}{1 + w ^{2}} (e^{- t} sin (wt) + w e^{- t} cos (wt)) + C

解答ステップ

\int e^{- (1 + i w) t} d t

簡素化

e^{- (1 + w i) t} : e^{- t} cos (wt) - i e^{- t} sin (wt)

= \int e^{- t} cos (wt) - i e^{- t} sin (wt) d t

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- t} cos (wt) d t - \int i e^{- t} sin (wt) d t

\int e^{- t} cos (wt) d t = \frac{w e ^{- t} sin ( wt )}{w ^{2} + 1} - \frac{e ^{- t} cos ( wt )}{w ^{2} + 1}

\int i e^{- t} sin (wt) d t = i \frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- t} sin (wt) - w e^{- t} cos (wt))

= \frac{w e ^{- t} sin ( wt )}{w ^{2} + 1} - \frac{e ^{- t} cos ( wt )}{w ^{2} + 1} - i \frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- t} sin (wt) - w e^{- t} cos (wt))

簡素化

\frac{w e ^{- t} sin ( wt )}{w ^{2} + 1} - \frac{e ^{- t} cos ( wt )}{w ^{2} + 1} - i \frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- t} sin (wt) - w e^{- t} cos (wt)) : \frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- t} cos (wt) + w e^{- t} sin (wt)) + i \frac{1}{1 + w ^{2}} (e^{- t} sin (wt) + w e^{- t} cos (wt))

= \frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- t} cos (wt) + w e^{- t} sin (wt)) + i \frac{1}{1 + w ^{2}} (e^{- t} sin (wt) + w e^{- t} cos (wt))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- t} cos (wt) + w e^{- t} sin (wt)) + i \frac{1}{1 + w ^{2}} (e^{- t} sin (wt) + w e^{- t} cos (wt)) + C