integral of sqrt(x^2-8)

Lösung

\int x^{2} - 8 d x

8 (\frac{1}{16} x x^{2} - 8 - \frac{1}{4} (2 ln x + x^{2} - 8 - 3 ln (2))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} - 8 d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 8 tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 8 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 8 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 8 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 8 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arcsec (\frac{1}{2 2} x)

ein

= 8 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2 2} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{2 2} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2 2} x)) tan (arcsec (\frac{1}{2 2} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2 2} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{2 2} x)))

Vereinfache

8 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2 2} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{2 2} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2 2} x)) tan (arcsec (\frac{1}{2 2} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2 2} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{2 2} x))) : 8 (\frac{1}{16} x x^{2} - 8 - \frac{1}{4} (2 ln x + x^{2} - 8 - 3 ln (2)))

= 8 (\frac{1}{16} x x^{2} - 8 - \frac{1}{4} (2 ln x + x^{2} - 8 - 3 ln (2)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 8 (\frac{1}{16} x x^{2} - 8 - \frac{1}{4} (2 ln x + x^{2} - 8 - 3 ln (2))) + C

\int x^{\frac{5}{2}} - x^{\frac{1}{2}} d x

\int x^{2} (2 x^{3} + 4) d x

\int 16 e^{- 4 x} d x

\int 3 \cdot cos (x) + 3 x + 2 d x

\int \frac{e ^{- 2 x}}{4 + e ^{- 2 x}} d x