integral of (e^{4x})/(1-e^{2x)}

Lösung

\int \frac{e ^{4 x}}{1 - e ^{2 x}} d x

- \frac{1}{2} (- 1 + e^{2 x} + ln - 1 + e^{2 x}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{4 x}}{1 - e ^{2 x}} d x

Faktorisiere

1 - e^{2 x} : - (- 1 + e^{2 x})

= \int \frac{e ^{4 x}}{- ( - 1 + e ^{2 x} )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{e ^{4 x}}{- 1 + e ^{2 x}} d x

Wende U-Substitution an

= - \int \frac{u + 1}{2 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u + 1}{u} d u

Multipliziere aus

\frac{u + 1}{u} : 1 + \frac{1}{u}

= - \frac{1}{2} \cdot \int 1 + \frac{1}{u} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int \frac{1}{u} d u)

\int 1 d u = u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

= - \frac{1}{2} (u + ln ∣ u ∣)

Setze in

u = - 1 + e^{2 x}

ein

= - \frac{1}{2} (- 1 + e^{2 x} + ln - 1 + e^{2 x})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2} (- 1 + e^{2 x} + ln - 1 + e^{2 x}) + C

\int (5 x - 1)^{2} d x

\int \frac{1}{cos ^{2} ( 2 x - 1 )} d x

\int x ln (x^{4} - 1) d x

\int t 3 2 t + 7 d t

\int sin (x) x^{3} d x