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integral of 4*sqrt(4-x^2)

Lösung

\int 4 \cdot 4 - x^{2} d x

8 (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int 4 4 - x^{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int 4 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 4 \cdot \int 4 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot 4 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot 4 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{2} x)

ein

= 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))

Vereinfache

4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))) : 8 (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))

= 8 (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 8 (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))) + C

\int \frac{x + 3}{x ^{2} - 4} d x

\int \frac{1}{x ^{2} + 9 x} d x

\int 8 x^{3} 2 x^{4} + 6 d x

\int 3 e^{x} - 2 sin (x) + 1 d x

\int \frac{1}{4 x + 3} d x