integral of (e^x)/(e^{2x)+9e^x-22}

解

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 9 e ^{x} - 22} d x

\frac{1}{13} ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{13} ln ∣ e^{x} + 11 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 9 e ^{x} - 22} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 9 e ^{x} - 22} : \frac{2}{13 ( e ^{x} - 2 )} + \frac{11}{13 ( e ^{x} + 11 )}

= \int \frac{2}{13 ( e ^{x} - 2 )} + \frac{11}{13 ( e ^{x} + 11 )} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{2}{13 ( e ^{x} - 2 )} d x + \int \frac{11}{13 ( e ^{x} + 11 )} d x

\int \frac{2}{13 ( e ^{x} - 2 )} d x = - \frac{1}{13} (x - ln ∣ e^{x} - 2 ∣)

\int \frac{11}{13 ( e ^{x} + 11 )} d x = \frac{1}{13} (x - ln ∣ e^{x} + 11 ∣)

= - \frac{1}{13} (x - ln ∣ e^{x} - 2 ∣) + \frac{1}{13} (x - ln ∣ e^{x} + 11 ∣)

簡素化

- \frac{1}{13} (x - ln ∣ e^{x} - 2 ∣) + \frac{1}{13} (x - ln ∣ e^{x} + 11 ∣) : \frac{1}{13} ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{13} ln ∣ e^{x} + 11 ∣

= \frac{1}{13} ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{13} ln ∣ e^{x} + 11 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{1}{13} ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{13} ln ∣ e^{x} + 11 ∣ + C