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人気のある微分積分 >

integral of (sqrt(x^2+y^2))

解

\int (x^{2} + y^{2}) d x

解

\frac{1}{2} x x^{2} + y^{2} + \frac{y ^{2}}{2} ln \frac{x + y ^{2} + x ^{2}}{∣ y ∣} + C

解答ステップ

\int x^{2} + y^{2} d x

三角関数による置換を適用する

= \int y^{2} sec^{3} (u) d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y^{2} \cdot \int sec^{3} (u) d u

積分換算を適用する

= y^{2} (\frac{sec ^{2} ( u ) sin ( u )}{2} + \frac{1}{2} \cdot \int sec (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= y^{2} (\frac{sec ^{2} ( u ) sin ( u )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

代用を戻す

u = arctan (\frac{1}{y} x)

= y^{2} \frac{sec ^{2} ( arctan ( \frac{1}{y} x ) ) sin ( arctan ( \frac{1}{y} x ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{y} x)) + sec (arctan (\frac{1}{y} x))

簡素化

y^{2} \frac{sec ^{2} ( arctan ( \frac{1}{y} x ) ) sin ( arctan ( \frac{1}{y} x ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{y} x)) + sec (arctan (\frac{1}{y} x)) : \frac{1}{2} x x^{2} + y^{2} + \frac{y ^{2}}{2} ln \frac{x + y ^{2} + x ^{2}}{∣ y ∣}

= \frac{1}{2} x x^{2} + y^{2} + \frac{y ^{2}}{2} ln \frac{x + y ^{2} + x ^{2}}{∣ y ∣}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} x x^{2} + y^{2} + \frac{y ^{2}}{2} ln \frac{x + y ^{2} + x ^{2}}{∣ y ∣} + C

グラフ

人気の例

integral of ((x^3+1))/(x^3-8)

\int \frac{( x ^{3} + 1 )}{x ^{3} - 8} d x

integral of 1/((1))

\int \frac{1}{( 1 )} d x

integral of (7x^6+9)sqrt(x^7+9x)

\int (7 x^{6} + 9) x^{7} + 9 x d x

integral of (-(5z)/(2sqrt(z))-9sqrt(z))

\int (- \frac{5 z}{2 z} - 9 z) d z

integral of (sqrt(x)+7)(sqrt(x)-7)

\int (x + 7) (x - 7) d x