integral of (xe^x)/(1+x)

Lösung

\int \frac{x e ^{x}}{1 + x} d x

\frac{1}{e} (e^{1 + x} - Ei (1 + x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x e ^{x}}{1 + x} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{e ^{u - 1} ( u - 1 )}{u} d u

Vereinfache

e^{u - 1} : e^{u} e^{- 1}

= \int \frac{e ^{u} e ^{- 1} ( u - 1 )}{u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- 1} \cdot \int \frac{e ^{u} ( u - 1 )}{u} d u

Wende Exponentenregel an:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{e} \cdot \int \frac{e ^{u} ( u - 1 )}{u} d u

Multipliziere aus

\frac{e ^{u} ( u - 1 )}{u} : e^{u} - \frac{e ^{u}}{u}

= \frac{1}{e} \cdot \int e^{u} - \frac{e ^{u}}{u} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{e} (\int e^{u} d u - \int \frac{e ^{u}}{u} d u)

\int e^{u} d u = e^{u}

\int \frac{e ^{u}}{u} d u = Ei (u)

= \frac{1}{e} (e^{u} - Ei (u))

Setze in

u = 1 + x

ein

= \frac{1}{e} (e^{1 + x} - Ei (1 + x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{e} (e^{1 + x} - Ei (1 + x)) + C

\int \frac{x e ^{- x^{2}}}{1 + e ^{- x^{2}}} d x

\int 5 x^{2} - 8 x + 5 d x

\int \frac{1}{8 x - 7} d x

\int \frac{cos ( x )}{9 sin ^{2} ( x )} d x

\int \frac{2 x ^{2} + x + 3}{x ^{3} - 1} d x