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integral de (x^2)/((25-x^2)^{5/2)}

Solução

\int \frac{x ^{2}}{( 25 - x ^{2} ) ^{\frac{5}{2}}} d x

\frac{x ^{3}}{75 ( 25 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} + C

Passos da solução

\int \frac{x ^{2}}{( 25 - x ^{2} ) ^{\frac{5}{2}}} d x

Multiplicar pelo conjugado de

25 - x^{2} : \frac{625 - x ^{4}}{25 + x ^{2}}

= \int \frac{x ^{2}}{( \frac{625 - x ^{4}}{25 + x ^{2}} ) ^{\frac{5}{2}}} d x

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{u ^{2}}{25 ( - ( u + 1 ) ( u - 1 ) ) ^{\frac{5}{2}}} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{25} \cdot \int \frac{u ^{2}}{( - ( u + 1 ) ( u - 1 ) ) ^{\frac{5}{2}}} d u

Multiplicar pelo conjugado de

u + 1 : \frac{u ^{2} - 1}{u - 1}

= \frac{1}{25} \cdot \int \frac{u ^{2}}{( - \frac{u ^{2} - 1}{u - 1} ( u - 1 ) ) ^{\frac{5}{2}}} d u

Multiplicar

- \frac{u ^{2} - 1}{u - 1} (u - 1) : - u^{2} + 1

= \frac{1}{25} \cdot \int \frac{u ^{2}}{( - u ^{2} + 1 ) ^{\frac{5}{2}}} d u

Aplicar integração por substituição trigonométrica

= \frac{1}{25} \cdot \int \frac{sin ^{2} ( v )}{cos ^{4} ( v )} d v

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= \frac{1}{25} \cdot \int \frac{tan ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )} d v

Aplicar integração por substituição

= \frac{1}{25} \cdot \int w^{2} d w

Aplicar a regra da potência

= \frac{1}{25} \cdot \frac{w ^{3}}{3}

Substituir na equação

= \frac{1}{25} \cdot \frac{tan ^{3} ( arcsin ( \frac{x}{5} ) )}{3}

Simplificar

\frac{1}{25} \cdot \frac{tan ^{3} ( arcsin ( \frac{x}{5} ) )}{3} : \frac{x ^{3}}{75 ( 25 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{x ^{3}}{75 ( 25 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

Adicionar uma constante à solução

= \frac{x ^{3}}{75 ( 25 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} + C

\int 4 x^{3} + 2 d x

\int \frac{- 5 arctan ( x )}{2 + 2 x ^{2}} d x

\int \frac{3}{4 + 9 x ^{2}} d x

\int \frac{( 2 x ^{2} - 6 x + 4 )}{( x - 3 )} d x

\int \frac{1}{2 x ( 3 - x )} d x