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人気のある微分積分 >

integral of e^x(1+e^{-x})^{-2}

解

\int e^{x} (1 + e^{- x})^{- 2} d x

解

- 2 x + e^{x} - 2 ln e^{- x} + 1 + \frac{1}{e ^{- x} + 1} + C

解答ステップ

\int e^{x} (1 + e^{- x})^{- 2} d x

u置換積分法を適用する

= \int - \frac{1}{u ^{2} ( 1 + u ) ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{u ^{2} ( 1 + u ) ^{2}} d u

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{u ^{2} ( 1 + u ) ^{2}} : - \frac{2}{u} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{2}{u + 1} + \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}}

= - \int - \frac{2}{u} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{2}{u + 1} + \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int \frac{2}{u} d u + \int \frac{1}{u ^{2}} d u + \int \frac{2}{u + 1} d u + \int \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} d u)

\int \frac{2}{u} d u = 2 ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

\int \frac{2}{u + 1} d u = 2 ln ∣ u + 1 ∣

\int \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} d u = - \frac{1}{u + 1}

= - (- 2 ln ∣ u ∣ - \frac{1}{u} + 2 ln ∣ u + 1 ∣ - \frac{1}{u + 1})

代用を戻す

u = e^{- x}

= - (- 2 ln e^{- x} - \frac{1}{e ^{- x}} + 2 ln e^{- x} + 1 - \frac{1}{e ^{- x} + 1})

簡素化

- (- 2 ln e^{- x} - \frac{1}{e ^{- x}} + 2 ln e^{- x} + 1 - \frac{1}{e ^{- x} + 1}) : - 2 x + e^{x} - 2 ln e^{- x} + 1 + \frac{1}{e ^{- x} + 1}

= - 2 x + e^{x} - 2 ln e^{- x} + 1 + \frac{1}{e ^{- x} + 1}

定数を解答に追加する

= - 2 x + e^{x} - 2 ln e^{- x} + 1 + \frac{1}{e ^{- x} + 1} + C

グラフ

人気の例

integral of (5x\sqrt[3]{5x^2+3})/3

\int \frac{5 x 3 5 x ^{2} + 3}{3} d x

integral of (1+3x+x^2)e^x

\int (1 + 3 x + x^{2}) e^{x} d x

integral of 3/(sqrt(x))+(xsqrt(x))/4

\int \frac{3}{x} + \frac{x x}{4} d x

integral of 1/((2x+1)^4)

\int \frac{1}{( 2 x + 1 ) ^{4}} d x

integral of 2x(x^2+4)^{-3}

\int 2 x (x^{2} + 4)^{- 3} d x