integral of (x^3+1)e^x

解答

\int (x^{3} + 1) e^{x} d x

e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 5 e^{x} + C

求解步骤

\int (x^{3} + 1) e^{x} d x

乘开

(x^{3} + 1) e^{x} : e^{x} x^{3} + e^{x}

= \int e^{x} x^{3} + e^{x} d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{x} x^{3} d x + \int e^{x} d x

\int e^{x} x^{3} d x = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x}))

\int e^{x} d x = e^{x}

= x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x})) + e^{x}

化简

x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x})) + e^{x} : e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 5 e^{x}

= e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 5 e^{x}

解答补常数

= e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 5 e^{x} + C

\int \frac{1}{( x - 3 ) ( x ^{2} - 2 x ) ^{2}} d x

\int \frac{3 x + 9}{4 x ^{2} + x ^{3}} d x

\int y^{\frac{- 1}{2}} d y

\int (x^{\frac{3}{2}} + 2)^{7} x d x

\int 5 + \frac{2}{3} x^{2} + \frac{3}{4} x^{3} d x