integral of xe^{\sqrt[3]{x}}

解答

\int x e^{3 x} d x

3 (e^{3 x} x^{\frac{5}{3}} - 5 (e^{3 x} x^{\frac{4}{3}} - 4 (e^{3 x} x - 3 (e^{3 x} x^{\frac{2}{3}} - 2 (e^{3 x} 3 x - e^{3 x}))))) + C

求解步骤

\int x e^{3 x} d x

使用换元积分法

= \int 3 e^{u} u^{5} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int e^{u} u^{5} d u

使用分布积分法

= 3 (u^{5} e^{u} - \int 5 u^{4} e^{u} d u)

\int 5 u^{4} e^{u} d u = 5 (u^{4} e^{u} - 4 (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))))

= 3 (u^{5} e^{u} - 5 (u^{4} e^{u} - 4 (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u})))))

u = 3 x

代回

= 3 ((3 x)^{5} e^{3 x} - 5 ((3 x)^{4} e^{3 x} - 4 ((3 x)^{3} e^{3 x} - 3 ((3 x)^{2} e^{3 x} - 2 (e^{3 x} 3 x - e^{3 x})))))

化简

3 ((3 x)^{5} e^{3 x} - 5 ((3 x)^{4} e^{3 x} - 4 ((3 x)^{3} e^{3 x} - 3 ((3 x)^{2} e^{3 x} - 2 (e^{3 x} 3 x - e^{3 x}))))) : 3 (e^{3 x} x^{\frac{5}{3}} - 5 (e^{3 x} x^{\frac{4}{3}} - 4 (e^{3 x} x - 3 (e^{3 x} x^{\frac{2}{3}} - 2 (e^{3 x} 3 x - e^{3 x})))))

= 3 (e^{3 x} x^{\frac{5}{3}} - 5 (e^{3 x} x^{\frac{4}{3}} - 4 (e^{3 x} x - 3 (e^{3 x} x^{\frac{2}{3}} - 2 (e^{3 x} 3 x - e^{3 x})))))

解答补常数

= 3 (e^{3 x} x^{\frac{5}{3}} - 5 (e^{3 x} x^{\frac{4}{3}} - 4 (e^{3 x} x - 3 (e^{3 x} x^{\frac{2}{3}} - 2 (e^{3 x} 3 x - e^{3 x}))))) + C

\int 1 t^{3} t + \frac{1}{t t} d t

\int 6 tan (\frac{x}{3}) d x

\int 4 x^{2} (2 x^{3} - 5)^{6} d x

\int (1 + \frac{1}{x}) x^{- 2} d x

\int x (2 x + 2)^{2} d x