интеграл от 1/((sin(x))^3cos(x))

Решение

\int \frac{1}{( sin ( x ) ) ^{3} cos ( x )} d x

- \frac{1}{2} cot^{2} (x) - ln ∣ cot (x) ∣ + C

Шаги решения

\int \frac{1}{( sin ( x ) ) ^{3} cos ( x )} d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int csc^{3} (x) sec (x) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{1}{sin ^{3} ( x ) cos ( x )} d x

Примените тригонометрическую подстановку

= \int - \frac{( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{1}{2}} u ^{2} + 1}{u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{1}{2}} u ^{2} + 1}{u} d u

Упростить

(u^{2} + 1)^{\frac{1}{2}} u^{2} + 1 : u^{2} + 1

= - \int \frac{u ^{2} + 1}{u} d u

Расширить

\frac{u ^{2} + 1}{u} : u + \frac{1}{u}

= - \int u + \frac{1}{u} d u

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (\int u d u + \int \frac{1}{u} d u)

\int u d u = \frac{u ^{2}}{2}

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

= - (\frac{u ^{2}}{2} + ln ∣ u ∣)

Делаем обратную замену

u = cot (x)

= - (\frac{cot ^{2} ( x )}{2} + ln ∣ cot (x) ∣)

Упростите

- (\frac{cot ^{2} ( x )}{2} + ln ∣ cot (x) ∣) : - \frac{1}{2} cot^{2} (x) - ln ∣ cot (x) ∣

= - \frac{1}{2} cot^{2} (x) - ln ∣ cot (x) ∣

Добавить константу к решению

= - \frac{1}{2} cot^{2} (x) - ln ∣ cot (x) ∣ + C