integral of 1/((x^2+a^2)^{1.5)}

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + a ^{2} ) ^{1.5}} d x

\frac{x}{a ^{2} a ^{2} + x ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + a ^{2} ) ^{1.5}} d x

(x^{2} + a^{2})^{1.5} = (x^{2} + a^{2}) x^{2} + a^{2}

= \int \frac{1}{( x ^{2} + a ^{2} ) x ^{2} + a ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{a ^{2} sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{a ^{2}} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{a} x)

ein

= \frac{1}{a ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{a} x))

Vereinfache

\frac{1}{a ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{a} x)) : \frac{x}{a ^{2} a ^{2} + x ^{2}}

= \frac{x}{a ^{2} a ^{2} + x ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{a ^{2} a ^{2} + x ^{2}} + C

\int x^{11} d x

\int e^{- m x} d x

\int 3 (200 + x)^{2} d x

\int 5 x (x^{2} - 8) d x

\int \frac{1}{c + x ^{2}} d x