integral of 1/((a^2+x^2)^{1.5)}

Lösung

\int \frac{1}{( a ^{2} + x ^{2} ) ^{1.5}} d x

\frac{x}{a ^{2} a ^{2} + x ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( a ^{2} + x ^{2} ) ^{1.5}} d x

(a^{2} + x^{2})^{1.5} = (a^{2} + x^{2}) a^{2} + x^{2}

= \int \frac{1}{( a ^{2} + x ^{2} ) a ^{2} + x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{a ^{2} sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{a ^{2}} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{a} x)

ein

= \frac{1}{a ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{a} x))

Vereinfache

\frac{1}{a ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{a} x)) : \frac{x}{a ^{2} a ^{2} + x ^{2}}

= \frac{x}{a ^{2} a ^{2} + x ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{a ^{2} a ^{2} + x ^{2}} + C

\int 1 + (sin (x))^{2} d x

\int 5 sin (t) cos (t) d t

\int \frac{( x ^{2} e ^{- x} + x )}{x ^{2}} d x

\int tan^{3} (8 x) cos^{5} (8 x) d x

\int (\frac{1}{u}) d u