integral of 1/((x^2+8)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 8 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{8 ( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 8 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{8 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{8} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{8} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{2 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}} x)

ein

= \frac{1}{8} sin (arctan (\frac{1}{2 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}} x))

Vereinfache

\frac{1}{8} sin (arctan (\frac{1}{2 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}} x)) : \frac{x}{8 ( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{8 ( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{8 ( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{in x}{x} d x

\int \frac{6}{x ^{4} - 6} d x

\int 6 x x - 2 d x

\int \frac{x + 6}{25 - ( x - 5 ) ^{2}} d x

\int \frac{x ^{3} - x - 1}{( x + 1 ) ^{2}} d x