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integral of sqrt(e^{2x)+1}

Lösung

\int e^{2 x} + 1 d x

- \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 + 1 + \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 - 1 + e^{2 x} + 1 + C

Schritte zur Lösung

\int e^{2 x} + 1 d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u + 1}{2 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u + 1}{u} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 v ^{2}}{v ^{2} - 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{v ^{2}}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{v ^{2}}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- \int \frac{v ^{2}}{- v ^{2} + 1} d v)

\frac{v ^{2}}{- v ^{2} + 1} = \frac{1}{- v ^{2} + 1} - 1

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} - 1 d v)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- (\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v - \int 1 d v))

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

\int 1 d v = v

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2} - v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- (\frac{ln e ^{2 x} + 1 + 1}{2} - \frac{ln e ^{2 x} + 1 - 1}{2} - e^{2 x} + 1))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 2 (- (\frac{ln e ^{2 x} + 1 + 1}{2} - \frac{ln e ^{2 x} + 1 - 1}{2} - e^{2 x} + 1)) : - \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 + 1 + \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 - 1 + e^{2 x} + 1

= - \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 + 1 + \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 - 1 + e^{2 x} + 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 + 1 + \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 - 1 + e^{2 x} + 1 + C

\int \frac{e ^{2 x} + e ^{x} + 1}{e ^{x}} d x

\int 7 x + 6 sin (x) d x

\int \frac{2 e ^{x}}{e ^{2 x} - 1} d x

\int (2400 x) (3 + 2 x) d x

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 2 x + 10} d x