integral of (x+1)^2*3^{-x}

Lösung

\int (x + 1)^{2} \cdot 3^{- x} d x

- \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2 \cdot 3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} + \frac{- 2 - 2 ln ( 3 )}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x} - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )} + C

Schritte zur Lösung

\int (x + 1)^{2} \cdot 3^{- x} d x

Multipliziere aus

(x + 1)^{2} \cdot 3^{- x} : 3^{- x} x^{2} + 2 \cdot 3^{- x} x + 3^{- x}

= \int 3^{- x} x^{2} + 2 \cdot 3^{- x} x + 3^{- x} d x

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 3^{- x} x^{2} d x + \int 2 \cdot 3^{- x} x d x + \int 3^{- x} d x

\int 3^{- x} x^{2} d x = - \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x}

\int 2 \cdot 3^{- x} x d x = 2 (- \frac{3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} - \frac{1}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x})

\int 3^{- x} d x = - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )}

= - \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x} + 2 (- \frac{3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} - \frac{1}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x}) - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )}

Vereinfache

- \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x} + 2 (- \frac{3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} - \frac{1}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x}) - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )} : - \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2 \cdot 3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} + \frac{- 2 - 2 ln ( 3 )}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x} - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )}

= - \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2 \cdot 3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} + \frac{- 2 - 2 ln ( 3 )}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x} - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2 \cdot 3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} + \frac{- 2 - 2 ln ( 3 )}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x} - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )} + C

\int (- 5 x^{- 2} + x) d x

\int \frac{( x + 4 ) ^{9}}{2 x} d x

\int \frac{6 x + 2}{x ^{2} + 1} d x

\int \frac{sin ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )} d x

\int \frac{5}{x + 1 + x} d x