integral of 1/(e^x(e^x-1))

Lösung

\int \frac{1}{e ^{x} ( e ^{x} - 1 )} d x

- x + \frac{1}{e ^{x}} + ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{e ^{x} ( e ^{x} - 1 )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} ( u - 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ^{2} ( u - 1 )} : - \frac{1}{u} - \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u - 1}

= \int - \frac{1}{u} - \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u - 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{u} d u - \int \frac{1}{u ^{2}} d u + \int \frac{1}{u - 1} d u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

\int \frac{1}{u - 1} d u = ln ∣ u - 1 ∣

= - ln ∣ u ∣ - (- \frac{1}{u}) + ln ∣ u - 1 ∣

Setze in

u = e^{x}

ein

= - ln ∣ e^{x} ∣ - (- \frac{1}{e ^{x}}) + ln ∣ e^{x} - 1 ∣

Vereinfache

- ln ∣ e^{x} ∣ - (- \frac{1}{e ^{x}}) + ln ∣ e^{x} - 1 ∣ : - x + \frac{1}{e ^{x}} + ln ∣ e^{x} - 1 ∣

= - x + \frac{1}{e ^{x}} + ln ∣ e^{x} - 1 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - x + \frac{1}{e ^{x}} + ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + C

\int x e^{x} x d x

\int (3 - 4 x)^{11} d x

\int \frac{1}{( 1 - 4 x ^{2} )} d x

\int \frac{1}{x ^{2} - 2 ^{2}} d x

\int \frac{8 x}{x ^{2} + 2} d x