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人気のある微分積分 >

integral of 1/(e^x(e^x-1))

解

\int \frac{1}{e ^{x} ( e ^{x} - 1 )} d x

解

- x + \frac{1}{e ^{x}} + ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{1}{e ^{x} ( e ^{x} - 1 )} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{u ^{2} ( u - 1 )} d u

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{u ^{2} ( u - 1 )} : - \frac{1}{u} - \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u - 1}

= \int - \frac{1}{u} - \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u - 1} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{u} d u - \int \frac{1}{u ^{2}} d u + \int \frac{1}{u - 1} d u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

\int \frac{1}{u - 1} d u = ln ∣ u - 1 ∣

= - ln ∣ u ∣ - (- \frac{1}{u}) + ln ∣ u - 1 ∣

代用を戻す

u = e^{x}

= - ln ∣ e^{x} ∣ - (- \frac{1}{e ^{x}}) + ln ∣ e^{x} - 1 ∣

簡素化

- ln ∣ e^{x} ∣ - (- \frac{1}{e ^{x}}) + ln ∣ e^{x} - 1 ∣ : - x + \frac{1}{e ^{x}} + ln ∣ e^{x} - 1 ∣

= - x + \frac{1}{e ^{x}} + ln ∣ e^{x} - 1 ∣

定数を解答に追加する

= - x + \frac{1}{e ^{x}} + ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + C

グラフ

人気の例

integral of xe^xx

\int x e^{x} x d x

integral of (3-4x)^{11}

\int (3 - 4 x)^{11} d x

integral of 1/(sqrt((1-4x^2)))

\int \frac{1}{( 1 - 4 x ^{2} )} d x

integral of 1/(x^2-2^2)

\int \frac{1}{x ^{2} - 2 ^{2}} d x

integral of (8x)/(x^2+2)

\int \frac{8 x}{x ^{2} + 2} d x