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人気のある微分積分 >

integral of 1/(ax-bx^2)

解

\int \frac{1}{a x - b x ^{2}} d x

解

\frac{1}{a} (- ln (\frac{∣ a - b x ∣}{∣ a ∣}) + ln \frac{a - b x}{a} - 1) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{a x - b x ^{2}} d x

因数

\frac{1}{a x - b x ^{2}}

= \int \frac{1}{x ( a - b x )} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{u ( u - a )} d u

u - a = a (\frac{u}{a} - 1)

= \int \frac{1}{u a ( \frac{u}{a} - 1 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{u ( \frac{u}{a} - 1 )} d u

u置換積分法を適用する

= \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{v ( v - 1 )} d v

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{v ( v - 1 )} : - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}

= \frac{1}{a} \cdot \int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{a} (- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v)

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{v - 1} d v = ln ∣ v - 1 ∣

= \frac{1}{a} (- ln ∣ v ∣ + ln ∣ v - 1 ∣)

代用を戻す

= \frac{1}{a} (- ln \frac{a - b x}{a} + ln \frac{a - b x}{a} - 1)

絶対規則を適用する:

\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

\frac{a - b x}{a} = \frac{∣ a - b x ∣}{∣ a ∣}

= \frac{1}{a} (- ln (\frac{∣ a - b x ∣}{∣ a ∣}) + ln \frac{a - b x}{a} - 1)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{a} (- ln (\frac{∣ a - b x ∣}{∣ a ∣}) + ln \frac{a - b x}{a} - 1) + C

グラフ

人気の例

integral of (12x^{-1}-6x^4-9x^2+5x-15)

\int (12 x^{- 1} - 6 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x - 15) d x

integral of (-x^3)/(e^{2x)}

\int \frac{- x ^{3}}{e ^{2 x}} d x

integral of 1/((2x+1)(x+1))

\int \frac{1}{( 2 x + 1 ) ( x + 1 )} d x

integral of x^3+3x^2

\int x^{3} + 3 x^{2} d x

integral of (e^{x-1})/(e^{x+1)}

\int \frac{e ^{x - 1}}{e ^{x + 1}} d x