integral of ((b/2)x)/(2sqrt(a+bx))

Lösung

\int \frac{( \frac{b}{2} ) x}{2 a + b x} d x

\frac{( b x + a ) ^{\frac{3}{2}} - 3 a b x + a}{6 b} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{\frac{b}{2} x}{2 a + b x} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{\frac{b}{2}}{2} \cdot \int \frac{x}{a + b x} d x

Vereinfache

\frac{\frac{b}{2}}{2} : \frac{b}{4}

= \frac{b}{4} \cdot \int \frac{x}{a + b x} d x

Wende U-Substitution an

= \frac{b}{4} \cdot \int \frac{2 ( u ^{2} - a )}{b ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{b}{4} \cdot \frac{2}{b ^{2}} \cdot \int u^{2} - a d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{b}{4} \cdot \frac{2}{b ^{2}} (\int u^{2} d u - \int a d u)

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

\int a d u = a u

= \frac{b}{4} \cdot \frac{2}{b ^{2}} (\frac{u ^{3}}{3} - a u)

Setze in

u = a + b x

ein

= \frac{b}{4} \cdot \frac{2}{b ^{2}} (\frac{( a + b x ) ^{3}}{3} - a a + b x)

Vereinfache

\frac{b}{4} \cdot \frac{2}{b ^{2}} (\frac{( a + b x ) ^{3}}{3} - a a + b x) : \frac{( b x + a ) ^{\frac{3}{2}} - 3 a b x + a}{6 b}

= \frac{( b x + a ) ^{\frac{3}{2}} - 3 a b x + a}{6 b}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{( b x + a ) ^{\frac{3}{2}} - 3 a b x + a}{6 b} + C

\int 4 x + 12 d x

\int (cosh (x) + x^{7}) d x

\int x (x - x + 1) d x

\int \frac{x x - 1 - x - x}{x - 1} d x

\int \frac{1}{( x 5 + 1 )} d x