integral of (8+x^2)^{-3/2}

Lösung

\int (8 + x^{2})^{- \frac{3}{2}} d x

\frac{x}{8 ( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int (8 + x^{2})^{- \frac{3}{2}} d x

Wende Exponentenregel an:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \int \frac{1}{( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{8 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{8} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{8} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{2 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}} x)

ein

= \frac{1}{8} sin (arctan (\frac{1}{2 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}} x))

Vereinfache

\frac{1}{8} sin (arctan (\frac{1}{2 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}} x)) : \frac{x}{8 ( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{8 ( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{8 ( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{1}{15 x - 2} d x

\int - 2 cos^{3} (x) (cos^{2} (x))^{''} sin (x) d x

\int \frac{24 x}{2 x + 3} d x

\int \frac{5 x + 3}{x ^{2} - 4} d x

\int \frac{6 x}{x ^{2} + 4} d x