интеграл от (8+x^2)^{-3/2}

Решение

\int (8 + x^{2})^{- \frac{3}{2}} d x

\frac{x}{8 ( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Шаги решения

\int (8 + x^{2})^{- \frac{3}{2}} d x

Примените правило возведения в степень:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \int \frac{1}{( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Примените тригонометрическую подстановку

= \int \frac{1}{8 sec ( u )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{8} \cdot \int cos (u) d u

Использовать общий интеграл:

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{8} sin (u)

Делаем обратную замену

u = arctan (\frac{1}{2 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}} x)

= \frac{1}{8} sin (arctan (\frac{1}{2 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}} x))

Упростите

\frac{1}{8} sin (arctan (\frac{1}{2 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}} x)) : \frac{x}{8 ( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{8 ( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Добавить константу к решению

= \frac{x}{8 ( 8 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C