integral of e^{(-y^2)/2}

Lösung

\int e^{\frac{- y ^{2}}{2}} d y

(\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{y}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int e^{\frac{- y ^{2}}{2}} d y

Vereinfache

= \int e^{- \frac{y ^{2}}{2}} d y

Wende Exponentenregel an:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{y ^{2}}{2} = (\frac{y}{2})^{2}

= \int e^{- (\frac{y}{2})^{2}} d y

Wende U-Substitution an

= \int e^{- u^{2}} 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int e^{- u^{2}} d u

Das ist ein nicht elementares Integral :

\int e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} erf (u)

= 2 \frac{π}{2} erf (u)

Setze in

u = \frac{y}{2}

ein

= 2 \frac{π}{2} erf (\frac{y}{2})

Vereinfache

2 \frac{π}{2} erf (\frac{y}{2}) : (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{y}{2})

= (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{y}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{y}{2}) + C

\int - 2 arctan (6 x) d x

\int (x^{2} + 4^{x}) d x

\int \frac{1}{2} x sin (x + 1) d x

\int ln (ln (x)) + \frac{1}{ln ( x )} d x

\int - 6 t^{\frac{1}{2}} + 7 d t