integral of 1/((7+6x-x^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( 7 + 6 x - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x - 3}{16 ( - x ^{2} + 6 x + 7 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 7 + 6 x - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Vervollständige das Quadrat

7 + 6 x - x^{2} : - (x - 3)^{2} + 16

= \int \frac{1}{( - ( x - 3 ) ^{2} + 16 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{( - u ^{2} + 16 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{16 cos ^{2} ( v )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{16} \cdot \int \frac{1}{cos ^{2} ( v )} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{cos ^{2} ( v )} d v = tan (v)

= \frac{1}{16} tan (v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{16} tan (arcsin (\frac{1}{4} (x - 3)))

Vereinfache

\frac{1}{16} tan (arcsin (\frac{1}{4} (x - 3))) : \frac{x - 3}{16 ( - x ^{2} + 6 x + 7 ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x - 3}{16 ( - x ^{2} + 6 x + 7 ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x - 3}{16 ( - x ^{2} + 6 x + 7 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{1}{x ^{2} - 7 x - 6} d x

\int 8 x - 5 3 x d x

\int \frac{x ^{3}}{25 - x ^{4}} d x

\int - \frac{2 x}{e ^{x}} d x

\int - 3^{x} d x