English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

integral de 1/(x(x^2+α))

Solução

\int \frac{1}{x ( x ^{2} + α )} d x

\frac{1}{2 α} (- ln (\frac{x ^{2} + α}{∣ α ∣}) + ln \frac{x ^{2} + α}{α} - 1) + C

Passos da solução

\int \frac{1}{x ( x ^{2} + α )} d x

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{1}{2 u ( u + α )} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ( u + α )} d u

Aplicar integração por substituição

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{( v - α ) v} d v

v - α = α (\frac{v}{α} - 1)

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{α ( \frac{v}{α} - 1 ) v} d v

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} \cdot \int \frac{1}{( \frac{v}{α} - 1 ) v} d v

Aplicar integração por substituição

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} \cdot \int \frac{1}{w ( w - 1 )} d w

Tirar a fração parcial de

\frac{1}{w ( w - 1 )} : - \frac{1}{w} + \frac{1}{w - 1}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} \cdot \int - \frac{1}{w} + \frac{1}{w - 1} d w

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} (- \int \frac{1}{w} d w + \int \frac{1}{w - 1} d w)

\int \frac{1}{w} d w = ln ∣ w ∣

\int \frac{1}{w - 1} d w = ln ∣ w - 1 ∣

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} (- ln ∣ w ∣ + ln ∣ w - 1 ∣)

Substituir na equação

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} (- ln \frac{x ^{2} + α}{α} + ln \frac{x ^{2} + α}{α} - 1)

Simplificar

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} (- ln \frac{x ^{2} + α}{α} + ln \frac{x ^{2} + α}{α} - 1) : \frac{1}{2 α} (- ln (\frac{x ^{2} + α}{∣ α ∣}) + ln \frac{x ^{2} + α}{α} - 1)

= \frac{1}{2 α} (- ln (\frac{x ^{2} + α}{∣ α ∣}) + ln \frac{x ^{2} + α}{α} - 1)

Adicionar uma constante à solução

= \frac{1}{2 α} (- ln (\frac{x ^{2} + α}{∣ α ∣}) + ln \frac{x ^{2} + α}{α} - 1) + C

\int \frac{1}{5 - 9 x ^{2}} d x

\int (5 x + 2)^{4} d x

\int I n (x + 1) d x

\int x^{\frac{1}{2}} + 9 d x

\int (4 x + 5)^{6} d x