integral de 1/(e^x+9e^{-x)}

Solução

\int \frac{1}{e ^{x} + 9 e ^{- x}} d x

\frac{1}{3} arctan (\frac{e ^{x}}{3}) + C

Passos da solução

\int \frac{1}{e ^{x} + 9 e ^{- x}} d x

Fatorar

\frac{1}{e ^{x} + 9 e ^{- x}}

= \int \frac{1}{e ^{- x} ( e ^{2 x} + 9 )} d x

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{e ^{- x} ( e ^{2 x} + 9 )} = e^{x} \frac{1}{( e ^{2 x} + 9 )}

= \int e^{x} \frac{1}{e ^{2 x} + 9} d x

Simplificar

e^{x} \frac{1}{e ^{2 x} + 9} : \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 9}

= \int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 9} d x

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{1}{u ^{2} + 9} d u

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{1}{3 ( v ^{2} + 1 )} d v

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Aplicar as regras de integração:

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{3} arctan (v)

Substituir na equação

= \frac{1}{3} arctan (\frac{e ^{x}}{3})

Adicionar uma constante à solução

= \frac{1}{3} arctan (\frac{e ^{x}}{3}) + C

\int x cos (y x) d x

\int \frac{sin ^{2} ( x ) - k}{sin ^{2} ( x )} d x

\int (5 x - 3) d x

\int e^{6 x + 1} d x

\int 6 sin (x) cos^{2} (x) d x