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integral of 1/((x^2+5)^2)

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}} d x

\frac{1}{10 5} (arctan (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{5}))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{5}{( 5 u ^{2} + 5 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int \frac{1}{( 5 u ^{2} + 5 ) ^{2}} d u

Faktorisiere

\frac{1}{( 5 u ^{2} + 5 ) ^{2}}

= 5 \cdot \int \frac{1}{25 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \frac{1}{25} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 5 \frac{1}{25} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 5 \frac{1}{25} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 5 \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 5 \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 5 \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{5})))

Vereinfache

5 \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{5}))) : \frac{1}{10 5} (arctan (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{5})))

= \frac{1}{10 5} (arctan (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{5})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{10 5} (arctan (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{5}))) + C

\int cos (4 x) sin (2 x) d x

\int \frac{( 2 x + 1 )}{x ^{2} + 4 x - 21} d x

\int (4 - x^{2})^{0.5} d x

\int sech (ln (x)) d x

\int - 2 + (x^{2} + 3 x) - x^{3} d x