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Popolare Calcoli >

integral of (x^2)/(sqrt((1+x^2)^3))

Soluzione

\int \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}} d x

Soluzione

ln x + 1 + x^{2} - \frac{x}{1 + x ^{2}} + C

Fasi della soluzione

\int \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}} d x

(1 + x^{2})^{3} = (1 + x^{2})^{\frac{3}{2}},

supponendo

(1 + x^{2}) \geq 0

= \int \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Applicazione della sostituzione trigonometrica

= \int tan^{2} (u) cos (u) d u

Semplifica

tan^{2} (u) cos (u) : sin (u) tan (u)

= \int sin (u) tan (u) d u

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

= \int \frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} d u

Espandi

\frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} : \frac{1}{cos ( u )} - cos (u)

= \int \frac{1}{cos ( u )} - cos (u) d u

Applica la Regola della Somma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{cos ( u )} d u - \int cos (u) d u

\int \frac{1}{cos ( u )} d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int cos (u) d u = sin (u)

= ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ - sin (u)

Sostituire indietro

u = arctan (x)

= ln ∣ tan (arctan (x)) + sec (arctan (x)) ∣ - sin (arctan (x))

Semplificare

ln ∣ tan (arctan (x)) + sec (arctan (x)) ∣ - sin (arctan (x)) : ln x + 1 + x^{2} - \frac{x}{1 + x ^{2}}

= ln x + 1 + x^{2} - \frac{x}{1 + x ^{2}}

Aggiungi una costante alla soluzione

= ln x + 1 + x^{2} - \frac{x}{1 + x ^{2}} + C

Grafico

Esempi popolari

integral of (8x^3-9x+7)/(x^3-x^2)

\int \frac{8 x ^{3} - 9 x + 7}{x ^{3} - x ^{2}} d x

integral of (e^x+1/(5x))

\int (e^{x} + \frac{1}{5 x}) d x

integral of (tan(t)+sin(t))cos(t)

\int (tan (t) + sin (t)) cos (t) d t

integral of (inx)/(sqrt(x))

\int \frac{in x}{x} d x

integral of x^3+4

\int x^{3} + 4 d x