integral de ln(sin(2x))

Solução

\int ln (sin (2 x)) d x

i x^{2} + i \frac{1}{4} Li_{2} (e^{2 \cdot 2 i x}) - i \frac{1}{2} x ln (1 - (- 1)^{\frac{4 x}{π}}) + i \frac{1}{2} x ln (sin (2 x)) + C

Passos da solução

\int ln (sin (2 x)) d x

Aplicar integração por substituição

= \int ln (sin (u)) \frac{1}{2} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int ln (sin (u)) d u

Esta é uma integral não elementar:

\int ln (sin (x)) d x = i \frac{1}{2} (x^{2} + Li_{2} (e^{2 i x}) - x ln (1 - (- 1)^{\frac{2 x}{π}}) + x ln (sin (x)))

= \frac{1}{2} i \frac{1}{2} (u^{2} + Li_{2} (e^{2 i u}) - u ln (1 - (- 1)^{\frac{2 u}{π}}) + u ln (sin (u)))

Substituir na equação

u = 2 x

= \frac{1}{2} i \frac{1}{2} ((2 x)^{2} + Li_{2} (e^{2 i 2 x}) - 2 x ln (1 - (- 1)^{\frac{2 \cdot 2 x}{π}}) + 2 x ln (sin (2 x)))

Simplificar

\frac{1}{2} i \frac{1}{2} ((2 x)^{2} + Li_{2} (e^{2 i 2 x}) - 2 x ln (1 - (- 1)^{\frac{2 \cdot 2 x}{π}}) + 2 x ln (sin (2 x))) : i x^{2} + i \frac{1}{4} Li_{2} (e^{2 \cdot 2 i x}) - i \frac{1}{2} x ln (1 - (- 1)^{\frac{4 x}{π}}) + i \frac{1}{2} x ln (sin (2 x))

= i x^{2} + i \frac{1}{4} Li_{2} (e^{2 \cdot 2 i x}) - i \frac{1}{2} x ln (1 - (- 1)^{\frac{4 x}{π}}) + i \frac{1}{2} x ln (sin (2 x))

Adicionar uma constante à solução

= i x^{2} + i \frac{1}{4} Li_{2} (e^{2 \cdot 2 i x}) - i \frac{1}{2} x ln (1 - (- 1)^{\frac{4 x}{π}}) + i \frac{1}{2} x ln (sin (2 x)) + C

\int \frac{x + 4}{x ^{2} + 8 x + 5} d x

\int \frac{csc ( x )}{sin ( x )} d x

\int \frac{( x + 2 )}{4 - x ^{2}} d x

\int sec^{2} (\frac{x}{6}) d x

\int sin^{4} (\frac{x}{9}) cos (\frac{x}{9}) d x