integral of ((y^4-8))/(y^3+2y^2)

解答

\int \frac{( y ^{4} - 8 )}{y ^{3} + 2 y ^{2}} d y

\frac{y ^{2}}{2} - 2 y + 2 ln ∣ y ∣ + \frac{4}{y} + 2 ln ∣ y + 2 ∣ + C

求解步骤

\int \frac{y ^{4} - 8}{y ^{3} + 2 y ^{2}} d y

将

\frac{y ^{4} - 8}{y ^{3} + 2 y ^{2}}

用部份分式展开:

y - 2 + \frac{2}{y} - \frac{4}{y ^{2}} + \frac{2}{y + 2}

= \int y - 2 + \frac{2}{y} - \frac{4}{y ^{2}} + \frac{2}{y + 2} d y

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int y d y - \int 2 d y + \int \frac{2}{y} d y - \int \frac{4}{y ^{2}} d y + \int \frac{2}{y + 2} d y

\int y d y = \frac{y ^{2}}{2}

\int 2 d y = 2 y

\int \frac{2}{y} d y = 2 ln ∣ y ∣

\int \frac{4}{y ^{2}} d y = - \frac{4}{y}

\int \frac{2}{y + 2} d y = 2 ln ∣ y + 2 ∣

= \frac{y ^{2}}{2} - 2 y + 2 ln ∣ y ∣ - (- \frac{4}{y}) + 2 ln ∣ y + 2 ∣

化简

= \frac{y ^{2}}{2} - 2 y + 2 ln ∣ y ∣ + \frac{4}{y} + 2 ln ∣ y + 2 ∣

解答补常数

= \frac{y ^{2}}{2} - 2 y + 2 ln ∣ y ∣ + \frac{4}{y} + 2 ln ∣ y + 2 ∣ + C

\int csc (1 - 2 x) cot (1 - 2 x) d x

\int (7 x - 1)^{6} d x

\int \frac{5}{4 - 9 x ^{2}} d x

\int \frac{2}{5 - 4 x - x ^{2}} d x

\int \frac{1}{2 cos ^{2} ( 3 x )} d x