integral of (x^2)/((1+x)^2)

解

\int \frac{x ^{2}}{( 1 + x ) ^{2}} d x

x - 2 ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{x + 1} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2}}{( 1 + x ) ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{2}}{( 1 + x ) ^{2}} : 1 - \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

= \int 1 - \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 1 d x - \int \frac{2}{x + 1} d x + \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

\int 1 d x = x

\int \frac{2}{x + 1} d x = 2 ln ∣ x + 1 ∣

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x = - \frac{1}{x + 1}

= x - 2 ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{x + 1}

定数を解答に追加する

= x - 2 ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{x + 1} + C