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受欢迎的微积分 >

integral of 1/(sqrt(x+\sqrt{x))}

解答

\int \frac{1}{x + x} d x

解答

2 (\frac{x}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + 4 x) + C

求解步骤

\int \frac{1}{x + x} d x

使用换元积分法

= \int \frac{2 u}{u ^{2} + u} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} + u} d u

分解

\frac{u}{u ^{2} + u}

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ( u + 1 )} d u

使用指数法则:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

u (u + 1) = u (u + 1)

= 2 \cdot \int \frac{u}{u u + 1} d u

化简

\frac{u}{u u + 1} : \frac{u}{u + 1}

= 2 \cdot \int \frac{u}{u + 1} d u

使用换元积分法

= 2 \cdot \int \frac{v - 1}{v} d v

使用分布积分法

= 2 (\frac{v - 1}{v} v - \int \frac{1}{2 v ^{\frac{1}{2}} v - 1} d v)

\int \frac{1}{2 v ^{\frac{1}{2}} v - 1} d v = ln v + v - 1

= 2 (\frac{v - 1}{v} v - ln v + v - 1)

代回

= 2 (\frac{x + 1 - 1}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + x + 1 - 1)

化简

2 (\frac{x + 1 - 1}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + x + 1 - 1) : 2 (\frac{x}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + 4 x)

= 2 (\frac{x}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + 4 x)

解答补常数

= 2 (\frac{x}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + 4 x) + C

作图

流行的例子

integral of sin^7(x/5)cos(x/5)

\int sin^{7} (\frac{x}{5}) cos (\frac{x}{5}) d x

integral of (sin(x^2))/(2x)

\int \frac{sin ( x ^{2} )}{2 x} d x

integral of (x^2+5)/(2x)

\int \frac{x ^{2} + 5}{2 x} d x

integral of 1/(-4x)

\int \frac{1}{- 4 x} d x

integral of 1/(2cos(x)+3)

\int \frac{1}{2 cos ( x ) + 3} d x