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人気のある微分積分 >

integral of 3/(4x^2+5x+1)

解

\int \frac{3}{4 x ^{2} + 5 x + 1} d x

解

- ln \frac{8}{3} + \frac{8}{3} x + ln \frac{2}{3} + \frac{8}{3} x + C

解答ステップ

\int \frac{3}{4 x ^{2} + 5 x + 1} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{4 x ^{2} + 5 x + 1} d x

平方完成する

4 x^{2} + 5 x + 1 : 4 (x + \frac{5}{8})^{2} - \frac{9}{16}

= 3 \cdot \int \frac{1}{4 ( x + \frac{5}{8} ) ^{2} - \frac{9}{16}} d x

u置換積分法を適用する

= 3 \cdot \int \frac{16}{64 u ^{2} - 9} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot 16 \cdot \int \frac{1}{64 u ^{2} - 9} d u

置換積分法を適用する

= 3 \cdot 16 \cdot \int \frac{1}{24 ( v ^{2} - 1 )} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot 16 \cdot \frac{1}{24} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

因数

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 3 \cdot 16 \cdot \frac{1}{24} \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot 16 \cdot \frac{1}{24} (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 3 \cdot 16 \cdot \frac{1}{24} (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

代用を戻す

= 3 \cdot 16 \cdot \frac{1}{24} (- (\frac{ln \frac{8}{3} ( x + \frac{5}{8} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{8}{3} ( x + \frac{5}{8} ) - 1}{2}))

簡素化

3 \cdot 16 \cdot \frac{1}{24} (- (\frac{ln \frac{8}{3} ( x + \frac{5}{8} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{8}{3} ( x + \frac{5}{8} ) - 1}{2})) : - ln \frac{8}{3} + \frac{8}{3} x + ln \frac{2}{3} + \frac{8}{3} x

= - ln \frac{8}{3} + \frac{8}{3} x + ln \frac{2}{3} + \frac{8}{3} x

定数を解答に追加する

= - ln \frac{8}{3} + \frac{8}{3} x + ln \frac{2}{3} + \frac{8}{3} x + C

グラフ

人気の例

integral of cos^3(x)x

\int cos^{3} (x) x d x

integral of x^2cos(x^3+3)

\int x^{2} cos (x^{3} + 3) d x

integral of x2x

\int x d^{2} x d x

integral of x/(cos^2(2x^2))

\int \frac{x}{cos ^{2} ( 2 x ^{2} )} d x

integral of (x^2+1)sin(x^3+3x)

\int (x^{2} + 1) sin (x^{3} + 3 x) d x