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integral of 1/(1-2sin(x))

Lösung

\int \frac{1}{1 - 2 sin ( x )} d x

- \frac{1}{3} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{3} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{3} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{1 - 2 sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{1 + u ^{2} - 4 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{1 + u ^{2} - 4 u} d u

Vervollständige das Quadrat

1 + u^{2} - 4 u : (u - 2)^{2} - 3

= 2 \cdot \int \frac{1}{( u - 2 ) ^{2} - 3} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 3} d v

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{3 ( w ^{2} - 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} - 1} d w

Faktorisiere

w^{2} - 1 : - (- w^{2} + 1)

= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{- ( - w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{3} (- (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 2}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 2}{3} - 1}{2}

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 2}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 2}{3} - 1}{2} : - \frac{1}{3} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{3} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{3} - 1)

= - \frac{1}{3} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{3} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{3} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{3} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{3} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{3} - 1) + C

\int 2 x (x^{2} - 1)^{99} d x

\int e^{x} (2 - e^{x})^{10} d x

\int (8^{x}) d x

\int \frac{sec ^{2} ( x )}{sin ( x )} d x

\int 1 - cos (θ) d θ