integral of (e^{6x}+3)/(e^{6x)+e^{-6x}}

解

\int \frac{e ^{6 x} + 3}{e ^{6 x} + e ^{- 6 x}} d x

\frac{1}{12} ln e^{12 x} + 1 - \frac{1}{2} arctan (e^{- 6 x}) + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{6 x} + 3}{e ^{6 x} + e ^{- 6 x}} d x

拡張

\frac{e ^{6 x} + 3}{e ^{6 x} + e ^{- 6 x}} : \frac{e ^{6 x}}{e ^{6 x} + e ^{- 6 x}} + \frac{3}{e ^{6 x} + e ^{- 6 x}}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{e ^{6 x}}{e ^{6 x} + e ^{- 6 x}} d x + \int \frac{3}{e ^{6 x} + e ^{- 6 x}} d x

\int \frac{e ^{6 x}}{e ^{6 x} + e ^{- 6 x}} d x = \frac{1}{12} ln e^{12 x} + 1

\int \frac{3}{e ^{6 x} + e ^{- 6 x}} d x = - \frac{1}{2} arctan (e^{- 6 x})

= \frac{1}{12} ln e^{12 x} + 1 - \frac{1}{2} arctan (e^{- 6 x})

定数を解答に追加する

= \frac{1}{12} ln e^{12 x} + 1 - \frac{1}{2} arctan (e^{- 6 x}) + C