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人気のある微分積分 >

integral of (x-4)/(x^2-4x+8)

解

\int \frac{x - 4}{x ^{2} - 4 x + 8} d x

解

\frac{1}{2} ln \frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} + 1 - arctan (\frac{1}{2} (x - 2)) + C

解答ステップ

\int \frac{x - 4}{x ^{2} - 4 x + 8} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u}{u ^{2} + 4 u + 8} d u

平方完成する

u^{2} + 4 u + 8 : (u + 2)^{2} + 4

= \int \frac{u}{( u + 2 ) ^{2} + 4} d u

u置換積分法を適用する

= \int \frac{v - 2}{v ^{2} + 4} d v

置換積分法を適用する

= \int \frac{w - 1}{w ^{2} + 1} d w

拡張

\frac{w - 1}{w ^{2} + 1} : \frac{w}{w ^{2} + 1} - \frac{1}{w ^{2} + 1}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{w}{w ^{2} + 1} d w - \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

\int \frac{w}{w ^{2} + 1} d w = \frac{1}{2} ln w^{2} + 1

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= \frac{1}{2} ln w^{2} + 1 - arctan (w)

代用を戻す

= \frac{1}{2} ln (\frac{x - 4 + 2}{2})^{2} + 1 - arctan (\frac{x - 4 + 2}{2})

簡素化

\frac{1}{2} ln (\frac{x - 4 + 2}{2})^{2} + 1 - arctan (\frac{x - 4 + 2}{2}) : \frac{1}{2} ln \frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} + 1 - arctan (\frac{1}{2} (x - 2))

= \frac{1}{2} ln \frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} + 1 - arctan (\frac{1}{2} (x - 2))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} ln \frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} + 1 - arctan (\frac{1}{2} (x - 2)) + C

グラフ

人気の例

integral of 1/(\sqrt[3]{9x+1)}

\int \frac{1}{3 9 x + 1} d x

integral of (x^2)/(sqrt((x^2+100)^3))

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 100 ) ^{3}} d x

integral of (x^2)/(a^2+x^2)

\int \frac{x ^{2}}{a ^{2} + x ^{2}} d x

integral of 5xsqrt(x+5)

\int 5 x x + 5 d x

integral of x^2sqrt(3x^3+4)

\int x^{2} 3 x^{3} + 4 d x