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受欢迎的微积分 >

integral of sin(wt)e^{-st}

解答

\int sin (wt) e^{- s t} d t

解答

- \frac{w e ^{- s t} cos ( wt )}{w ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( wt )}{w ^{2} + s ^{2}} + C

求解步骤

\int sin (wt) e^{- s t} d t

使用分布积分法

= - e^{- s t} \frac{1}{w} cos (wt) - \int s e^{- s t} \frac{1}{w} cos (wt) d t

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- s t} \frac{1}{w} cos (wt) - s \frac{1}{w} \cdot \int e^{- s t} cos (wt) d t

化简

s \frac{1}{w} : \frac{s}{w}

= - e^{- s t} \frac{1}{w} cos (wt) - \frac{s}{w} \cdot \int e^{- s t} cos (wt) d t

使用分布积分法

= - e^{- s t} \frac{1}{w} cos (wt) - \frac{s}{w} (e^{- s t} \frac{1}{w} sin (wt) - \int - s e^{- s t} \frac{1}{w} sin (wt) d t)

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- s t} \frac{1}{w} cos (wt) - \frac{s}{w} (e^{- s t} \frac{1}{w} sin (wt) - (- s \frac{1}{w} \cdot \int e^{- s t} sin (wt) d t))

化简

- s \frac{1}{w} : - \frac{s}{w}

= - e^{- s t} \frac{1}{w} cos (wt) - \frac{s}{w} (e^{- s t} \frac{1}{w} sin (wt) - (- \frac{s}{w} \cdot \int e^{- s t} sin (wt) d t))

因此

\int e^{- s t} sin (wt) d t = - e^{- s t} \frac{1}{w} cos (wt) - \frac{s}{w} (e^{- s t} \frac{1}{w} sin (wt) - (- \frac{s}{w} \cdot \int e^{- s t} sin (wt) d t))

整理

\int e^{- s t} sin (wt) d t

= - \frac{w e ^{- s t} cos ( wt )}{w ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( wt )}{w ^{2} + s ^{2}}

解答补常数

= - \frac{w e ^{- s t} cos ( wt )}{w ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( wt )}{w ^{2} + s ^{2}} + C

作图

流行的例子

integral of (x^2-6)^2

\int (x^{2} - 6)^{2} d x

integral of (1/(sqrt(4-9x^2))+e^{4x})

\int (\frac{1}{4 - 9 x ^{2}} + e^{4 x}) d x

integral of sqrt(1+t)

\int 1 + t d t

integral of 4x^3sin(2x)

\int 4 x^{3} sin (2 x) d x

integral of (1+1/x)^{-3}*1/(x^2)

\int (1 + \frac{1}{x})^{- 3} \cdot \frac{1}{x ^{2}} d x