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人気のある微分積分 >

integral of x^3sqrt((x+1)(x-1))

解

\int x^{3} (x + 1) (x - 1) d x

解

\frac{1}{15} (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 1)^{\frac{3}{2}} + C

解答ステップ

\int x^{3} (x + 1) (x - 1) d x

x + 1

の共役で乗じる

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

= \int x^{3} \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} (x - 1) d x

乗じる

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} (x - 1) : x^{2} - 1

= \int x^{3} x^{2} - 1 d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{( u + 1 ) u}{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int (u + 1) u d u

拡張

(u + 1) u : u^{\frac{3}{2}} + u

= \frac{1}{2} \cdot \int u^{\frac{3}{2}} + u d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int u d u)

\int u^{\frac{3}{2}} d u = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}

\int u d u = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

= \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}})

代用を戻す

u = x^{2} - 1

= \frac{1}{2} (\frac{2}{5} (x^{2} - 1)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} (x^{2} - 1)^{\frac{3}{2}})

簡素化

\frac{1}{2} (\frac{2}{5} (x^{2} - 1)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} (x^{2} - 1)^{\frac{3}{2}}) : \frac{1}{15} (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 1)^{\frac{3}{2}}

= \frac{1}{15} (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 1)^{\frac{3}{2}}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{15} (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 1)^{\frac{3}{2}} + C

グラフ

人気の例

integral of arctan(10x)

\int arctan (10 x) d x

integral of p(p+8)^6

\int p (p + 8)^{6} d p

integral of (1-x^8)/(x(1+x^8))

\int \frac{1 - x ^{8}}{x ( 1 + x ^{8} )} d x

integral of sqrt(1+(9x^{1/2))^2}

\int 1 + (9 x^{\frac{1}{2}})^{2} d x

integral of 2^{-2x}

\int 2^{- 2 x} d x