ja

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

人気のある微分積分 >

integral of 1/(cos(θ)(1+sin(θ)))

解

\int \frac{1}{cos ( θ ) ( 1 + sin ( θ ) )} d θ

解

\frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (θ) ∣ - \frac{1}{2 ( 1 + sin ( θ ) )} - \frac{1}{4} ln ∣ sin (θ) - 1 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{1}{cos ( θ ) ( 1 + sin ( θ ) )} d θ

三角関数による置換を適用する

= \int \frac{1}{( 1 + u ) ( 1 - u ^{2} )} d u

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{v ( - v ^{2} + 2 v )} d v

因数

\frac{1}{v ( - v ^{2} + 2 v )}

= \int \frac{1}{- v ^{2} ( v - 2 )} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{v ^{2} ( v - 2 )} d v

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{v ^{2} ( v - 2 )} : - \frac{1}{4 v} - \frac{1}{2 v ^{2}} + \frac{1}{4 ( v - 2 )}

= - \int - \frac{1}{4 v} - \frac{1}{2 v ^{2}} + \frac{1}{4 ( v - 2 )} d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int \frac{1}{4 v} d v - \int \frac{1}{2 v ^{2}} d v + \int \frac{1}{4 ( v - 2 )} d v)

\int \frac{1}{4 v} d v = \frac{1}{4} ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{2 v ^{2}} d v = - \frac{1}{2 v}

\int \frac{1}{4 ( v - 2 )} d v = \frac{1}{4} ln ∣ v - 2 ∣

= - (- \frac{1}{4} ln ∣ v ∣ - (- \frac{1}{2 v}) + \frac{1}{4} ln ∣ v - 2 ∣)

代用を戻す

= - (- \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (θ) ∣ - (- \frac{1}{2 ( 1 + sin ( θ ) )}) + \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (θ) - 2 ∣)

簡素化

- (- \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (θ) ∣ - (- \frac{1}{2 ( 1 + sin ( θ ) )}) + \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (θ) - 2 ∣) : \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (θ) ∣ - \frac{1}{2 ( 1 + sin ( θ ) )} - \frac{1}{4} ln ∣ sin (θ) - 1 ∣

= \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (θ) ∣ - \frac{1}{2 ( 1 + sin ( θ ) )} - \frac{1}{4} ln ∣ sin (θ) - 1 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (θ) ∣ - \frac{1}{2 ( 1 + sin ( θ ) )} - \frac{1}{4} ln ∣ sin (θ) - 1 ∣ + C

グラフ

人気の例

integral of ((x^2+x+1))/((x+1)^2)

\int \frac{( x ^{2} + x + 1 )}{( x + 1 ) ^{2}} d x

integral of cos(x+2)

\int cos (x + 2) d x

integral of sqrt(1+4x^4)(16x^3)

\int 1 + 4 x^{4} (16 x^{3}) d x

integral of (x^2+2x-8)

\int (x^{2} + 2 x - 8) d x

integral of (1/x+1/(x^2))

\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}) d x