integral of (x^2+5)2^{-x}

解

\int (x^{2} + 5) 2^{- x} d x

- \frac{2 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 2 )} - \frac{1}{ln ^{2} ( 2 )} \cdot 2^{- x + 1} x - \frac{1}{ln ^{3} ( 2 )} \cdot 2^{1 - x} - \frac{5 \cdot 2 ^{- x}}{ln ( 2 )} + C

解答ステップ

\int (x^{2} + 5) \cdot 2^{- x} d x

拡張

(x^{2} + 5) \cdot 2^{- x} : 2^{- x} x^{2} + 5 \cdot 2^{- x}

= \int 2^{- x} x^{2} + 5 \cdot 2^{- x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 2^{- x} x^{2} d x + \int 5 \cdot 2^{- x} d x

\int 2^{- x} x^{2} d x = - \frac{2 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 2 )} - \frac{1}{ln ^{2} ( 2 )} \cdot 2^{- x + 1} x - \frac{1}{ln ^{3} ( 2 )} \cdot 2^{1 - x}

\int 5 \cdot 2^{- x} d x = - \frac{5 \cdot 2 ^{- x}}{ln ( 2 )}

= - \frac{2 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 2 )} - \frac{1}{ln ^{2} ( 2 )} \cdot 2^{- x + 1} x - \frac{1}{ln ^{3} ( 2 )} \cdot 2^{1 - x} - \frac{5 \cdot 2 ^{- x}}{ln ( 2 )}

定数を解答に追加する

= - \frac{2 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 2 )} - \frac{1}{ln ^{2} ( 2 )} \cdot 2^{- x + 1} x - \frac{1}{ln ^{3} ( 2 )} \cdot 2^{1 - x} - \frac{5 \cdot 2 ^{- x}}{ln ( 2 )} + C