интеграл от 1/(x^5sqrt(x^2-9))

Решение

\int \frac{1}{x ^{5} x ^{2} - 9} d x

\frac{1}{243} (\frac{27 x ^{2} - 9}{x ^{4}} + \frac{3}{8} (arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsec (\frac{1}{3} x)))) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{x ^{5} x ^{2} - 9} d x

Примените тригонометрическую подстановку

= \int \frac{1}{243 sec ^{4} ( u )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{243} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( u )} d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{243} \cdot \int cos^{4} (u) d u

Упростите

cos^{4} (u) : cos^{3} (u) cos (u)

= \frac{1}{243} \cdot \int cos^{3} (u) cos (u) d u

Применить интегрирование по частям

= \frac{1}{243} (cos^{3} (u) sin (u) - \int - 3 cos^{2} (u) sin^{2} (u) d u)

\int - 3 cos^{2} (u) sin^{2} (u) d u = - \frac{3}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

= \frac{1}{243} (cos^{3} (u) sin (u) - (- \frac{3}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))))

Делаем обратную замену

u = arcsec (\frac{1}{3} x)

= \frac{1}{243} (cos^{3} (arcsec (\frac{1}{3} x)) sin (arcsec (\frac{1}{3} x)) - (- \frac{3}{8} (arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsec (\frac{1}{3} x)))))

Упростите

\frac{1}{243} (cos^{3} (arcsec (\frac{1}{3} x)) sin (arcsec (\frac{1}{3} x)) - (- \frac{3}{8} (arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsec (\frac{1}{3} x))))) : \frac{1}{243} (\frac{27 x ^{2} - 9}{x ^{4}} + \frac{3}{8} (arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsec (\frac{1}{3} x))))

= \frac{1}{243} (\frac{27 x ^{2} - 9}{x ^{4}} + \frac{3}{8} (arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsec (\frac{1}{3} x))))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{243} (\frac{27 x ^{2} - 9}{x ^{4}} + \frac{3}{8} (arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsec (\frac{1}{3} x)))) + C