integral of x/((ax+b)^4)

Lösung

\int \frac{x}{( a x + b ) ^{4}} d x

\frac{- 3 a x - b}{6 a ^{2} ( a x + b ) ^{3}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x}{( a x + b ) ^{4}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u - b}{a ^{2} u ^{4}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int \frac{u - b}{u ^{4}} d u

Multipliziere aus

\frac{u - b}{u ^{4}} : \frac{1}{u ^{3}} - \frac{b}{u ^{4}}

= \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int \frac{1}{u ^{3}} - \frac{b}{u ^{4}} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{a ^{2}} (\int \frac{1}{u ^{3}} d u - \int \frac{b}{u ^{4}} d u)

\int \frac{1}{u ^{3}} d u = - \frac{1}{2 u ^{2}}

\int \frac{b}{u ^{4}} d u = - \frac{b}{3 u ^{3}}

= \frac{1}{a ^{2}} (- \frac{1}{2 u ^{2}} - (- \frac{b}{3 u ^{3}}))

Setze in

u = a x + b

ein

= \frac{1}{a ^{2}} (- \frac{1}{2 ( a x + b ) ^{2}} - (- \frac{b}{3 ( a x + b ) ^{3}}))

Vereinfache

\frac{1}{a ^{2}} (- \frac{1}{2 ( a x + b ) ^{2}} - (- \frac{b}{3 ( a x + b ) ^{3}})) : \frac{- 3 a x - b}{6 a ^{2} ( a x + b ) ^{3}}

= \frac{- 3 a x - b}{6 a ^{2} ( a x + b ) ^{3}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{- 3 a x - b}{6 a ^{2} ( a x + b ) ^{3}} + C

\int - \frac{2}{3} d x

\int \frac{1}{2 x ^{2} - 3} d x

\int \frac{2 + 6 x}{1 + x ^{2}} d x

\int \frac{1}{4 + 5 sin ^{2} ( x )} d x

\int 3 \cdot \frac{ln ( x )}{x ^{3}} d x