integral of xarcsin(x/2)

解

\int x arcsin (\frac{x}{2}) d x

\frac{1}{2} x^{2} arcsin (\frac{x}{2}) - arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)) + C

解答ステップ

\int x arcsin (\frac{x}{2}) d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} x^{2} arcsin (\frac{x}{2}) - \int \frac{x ^{2}}{2 4 - x ^{2}} d x

\int \frac{x ^{2}}{2 4 - x ^{2}} d x = arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))

= \frac{1}{2} x^{2} arcsin (\frac{x}{2}) - (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))

簡素化

= \frac{1}{2} x^{2} arcsin (\frac{x}{2}) - arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} x^{2} arcsin (\frac{x}{2}) - arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)) + C