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integral of sqrt(18x-x^2)

Lösung

\int 18 x - x^{2} d x

\frac{81}{4} (2 arcsin (\frac{1}{9} x - 1) + sin (2 arcsin (\frac{1}{9} x - 1))) + C

Schritte zur Lösung

\int 18 x - x^{2} d x

Vervollständige das Quadrat

18 x - x^{2} : - (x - 9)^{2} + 81

= \int - (x - 9)^{2} + 81 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 81 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 81 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 81 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 81 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 81 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 81 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 81 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 81 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{9} (x - 9)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{9} (x - 9))))

Vereinfache

81 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{9} (x - 9)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{9} (x - 9)))) : \frac{81}{4} (2 arcsin (\frac{1}{9} x - 1) + sin (2 arcsin (\frac{1}{9} x - 1)))

= \frac{81}{4} (2 arcsin (\frac{1}{9} x - 1) + sin (2 arcsin (\frac{1}{9} x - 1)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{81}{4} (2 arcsin (\frac{1}{9} x - 1) + sin (2 arcsin (\frac{1}{9} x - 1))) + C

\int \frac{x ^{3}}{16 - x ^{2}} d x

\int sin (ln (y)) d y

\int \frac{3}{16 y ^{2} - 25} d y

\int \frac{( arctan ( x ) ) ^{4}}{x ^{2} + 1} d x

\int x 4 x^{2} + 3 d x