integral of 1/(x^2-a)

Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} - a} d x

- \frac{1}{2 a} (ln \frac{x}{a} + 1 - ln \frac{x}{a} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} - a} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{a ( u ^{2} - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= \frac{1}{a} (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = \frac{x}{a}

ein

= \frac{1}{a} - \frac{ln \frac{x}{a} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{a} - 1}{2}

Vereinfache

\frac{1}{a} - \frac{ln \frac{x}{a} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{a} - 1}{2} : - \frac{1}{2 a} (ln \frac{x}{a} + 1 - ln \frac{x}{a} - 1)

= - \frac{1}{2 a} (ln \frac{x}{a} + 1 - ln \frac{x}{a} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2 a} (ln \frac{x}{a} + 1 - ln \frac{x}{a} - 1) + C

\int sin (5 x + 1) d x

\int \frac{1}{cos ( x ) ( 1 + sin ( x ) )} d x

\int e^{3 x - 7} d x

\int ln (2^{x}) d x

in t e g r a l \frac{1}{y}