integral of sqrt(x^2-100)

Lösung

\int x^{2} - 100 d x

100 (\frac{1}{200} x x^{2} - 100 - \frac{1}{2} ln (\frac{x + x ^{2} - 100}{10})) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} - 100 d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 100 tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 100 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 100 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 100 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 100 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 100 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arcsec (\frac{1}{10} x)

ein

= 100 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{10} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{10} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{10} x)) tan (arcsec (\frac{1}{10} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{10} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{10} x)))

Vereinfache

100 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{10} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{10} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{10} x)) tan (arcsec (\frac{1}{10} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{10} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{10} x))) : 100 (\frac{1}{200} x x^{2} - 100 - \frac{1}{2} ln (\frac{x + x ^{2} - 100}{10}))

= 100 (\frac{1}{200} x x^{2} - 100 - \frac{1}{2} ln (\frac{x + x ^{2} - 100}{10}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 100 (\frac{1}{200} x x^{2} - 100 - \frac{1}{2} ln (\frac{x + x ^{2} - 100}{10})) + C

\int (4 x^{3} - 2) 2 x^{2} d x

\int x \cdot arctan (x^{2} - 1) d x

\int x^{2} (3 - 10 x^{3})^{4} d x

\int - \frac{2}{x ( ln ( x ) ) ^{3}} d x

\int \frac{e ^{x}}{( 9 - e ^{x} ) ^{2}} d x