integral of arcsin(sqrt(x/(1+x)))

解

\int arcsin (\frac{x}{1 + x}) d x

x arcsin (\frac{x}{1 + x}) + arctan (x) - x + C

解答ステップ

\int arcsin (\frac{x}{1 + x}) d x

部分積分を適用する

= x arcsin (\frac{x}{1 + x}) - \int \frac{x}{2 ( x + 1 )} d x

\int \frac{x}{2 ( x + 1 )} d x = - arctan (x) + x

= x arcsin (\frac{x}{1 + x}) - (- arctan (x) + x)

簡素化

= x arcsin (\frac{x}{1 + x}) + arctan (x) - x

定数を解答に追加する

= x arcsin (\frac{x}{1 + x}) + arctan (x) - x + C