integral of (e^{3x})/(e^{2x)+1}

Lösung

\int \frac{e ^{3 x}}{e ^{2 x} + 1} d x

- arctan (e^{x}) + e^{x} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{3 x}}{e ^{2 x} + 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u - 1}{2 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u - 1}{u} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 v ^{2}}{v ^{2} + 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{v ^{2}}{v ^{2} + 1} d v

\frac{v ^{2}}{v ^{2} + 1} = - \frac{1}{v ^{2} + 1} + 1

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int - \frac{1}{v ^{2} + 1} + 1 d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v + \int 1 d v)

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

\int 1 d v = v

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- arctan (v) + v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- arctan (e^{2 x} + 1 - 1) + e^{2 x} + 1 - 1)

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 2 (- arctan (e^{2 x} + 1 - 1) + e^{2 x} + 1 - 1) : - arctan (e^{x}) + e^{x}

= - arctan (e^{x}) + e^{x}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - arctan (e^{x}) + e^{x} + C

\int 1 0^{3 x} d x

\int 11 x - x d x

\int cos (x) (1 - sin (x)) d x

\int x^{2} (2 x^{3} + 1) d x

\int sin (2 x) e^{s i n^{2} (x)} d x